양자역학 개요
큐비트: 양자 비트의 약어. 양자 정보 양의 기본 단위.
양자 정보: 양자 상태로 표현되고 양자역학의 법칙에 따르는 정보. 고전 정보의 기본 단위가 비트인 것과 같은 맥락.
비트: 고전 정보의 기본 단위
- 0 또는 1 두 가지 상태만 가질 수 있음.
- 모든 디지털 정보는 0과 1의 조합으로 표현됨
--> 고전 정보의 최소 단위 = 비트
큐비트: 양자 정보의 기본 단위
- 양자역학적인 입자(전자의 스핀, 광자의 편광 등)로 구현된 정보 단위
- 0과 1의 양자 중첩 상태가 될 수 있음.
- ∣ψ ⟩ = α∣0 ⟩ + β∣1 ⟩
양자 정보
- 양자 상태로 표현됨.
- 큐비트는 중첩과 얽힘 같은 양자 현상을 이용해서 고전 정보로는 불가능한 방식으로 정보가 저장/처리됨.
- 양자 정보 특징
--> 중첩: 한 큐비트가 0과 1을 동시에 가질 수 있음. (-> 병렬적 계산 가능성)
--> 얽힘: 여러 큐비트가 서로 강하게 연결되어 떨어져 있어도 한 큐비트를 측정하면 다른 큐비트 정보가 바로 정해짐.
--> 불가복제성: 양자 상태는 똑같이 복사할 수 없음. (-> 양자 암호에 활용)
브라-켓 표기법
- 양자 역학에서 양자 상태를 표현하는 표준 표기법.
- 디랙(Dirac) 표기법이라고도 불림.
- 양자 상태를 벡터처럼 취급하기 위해 만들어진 표기.
- ψ: 프사이(psi)
- φ: 파이(phi)
- ∣ψ ⟩: 켓(ket). 열벡터. 양자 상태 벡터.
- ⟨ ψ∣: 브라(bra). 행벡터. ∣ψ ⟩의 에르미트 켤레(복소 켤레 전치)
--> 전치: 행렬의 가로와 세로를 바꾼 것.
--> 복소 켤레: 복소수 a + bi에서 i의 부호만 바꾸는 것
--> 복소 켤레 전치(에르미트 켤레): 전치 후 원소마다 복소 켤레
ex)
--> 1. 전치하면: [1+i 2]
--> 2. 복소 켤레 취하면: [ 1−i 2 ]
--> ⟨ ψ∣= (∣ψ ⟩)† = [1−i 2]
--> †: 에르미트 켤레의 기호
- 위와 같이 정의를 해야 내적/외적/행렬 곱으로 깔끔하게 계산 가능
--> ex) 게이트(연산) U를 상태에 적용: ∣ψ′ ⟩ = U∣ψ ⟩
- 연산(게이트): 1큐비트 게이트는 2x2 유니터리 행렬 U.
- . (norm 보존)
--> 유니터리 행렬: 켤레 전치가 역행렬과 같은 복소수 정사각 행렬
- 브라-켓 조합
--> 내적 ⟨φ∣ψ⟩ : 두 상태의 유사도.
--> 외적 ∣ψ ⟩⟨ ψ∣: 밀도행렬/ 프로젝터(측정 연산자)로 사용.
∣ψ ⟩ = α∣0 ⟩ + β∣1 ⟩
- 양자 상태∣ψ ⟩는 0 상태와 1 상태가 α만큼과 β만큼 섞여 있다.(중첩되어 있다.)
- 이 큐비트는 ∣0 ⟩과 ∣1 ⟩이 중첩된 상태이고, 그 비율과 위상이 각각 α, β로 정해진다.
- 측정 전에는 α, β 가 유지되지만, 측정하는 순간 확률적으로 0 또는 1로 붕괴.
- ∣0 ⟩, ∣1 ⟩: 1 큐비트의 기저 상태. 고전 비트의 0, 1에 대응하는 "좌표축"같은 기준.
- α, β는 확률 진폭. 복소 값으로 정의.
- 정규화 조건: 0이 나올 확률 = |α|², 1이 나올 확률 = |β|² (Born 규칙)
- |α|² + |β|² = 1(확률 총합 1)
- 큐비트는 위를 만족하는 규격화된 형태로 주로 활용된다.
- α, β에 위상(복소수 각도)가 포함.
- 확률에선 보이지 않지만 α, β의 상대 위상이 간섭/연산 결과에 영향을 준다.
- 공통 위상 e^iγ∣ψ⟩ 은 물리적으로 동일.
기저 상태(바닥 상태)
- 양자 역학 시스템의 가장 낮은 에너지를 가진 정상 상태. 계의 안정적인 상태.
- 기저 상태보다 높은 에너지를 가진 상태를 들뜬 상태라고 한다.
- 수학에서의 기저(basis)
--> 벡터 공간(평면, 3D 공간)에서는 “좌표축”이 있어야 벡터를 표현할 수 있다.
--> 2차원 평면에서는 두 벡터가 기저 벡터.
--> 임의의 벡터 는 a(1,0) + b(0,1) 꼴로 쓸 수 있음.
--> 즉, 기저 = 좌표축 역할을 하는 기본 벡터들의 집합
- 양자에서의 기저 상태
--> 큐비트의 상태 공간(힐베르트 공간)은 2차원 벡터 공간.
--> 이때 기본 좌표축에 해당하는 벡터는 아래와 같으며 이를 계산 기저 상태라고 부름.
- 임의의 1 큐비트는 항상 " ∣ψ ⟩ = α∣0 ⟩ + β∣1 ⟩"로 표현 가능
- 2 큐비트의 기저 상태(공간이 4차원):
힐베르트 공간
블로흐 구면
- 규격화된 큐비트의 다른 표현 방법.
- 1큐비트 순수 상태는 아래와 같다.
- (θ,ϕ): 구면 좌표
- 큐비트는 θ를 극각, ϕ를 구면 좌표의 방위각으로 하는 구면 상의 한 점으로 이해할 수 있다.
- 위와 같이 임의의 큐비트를 나타내는 반지름이 1인 구를 블로흐 구라고 한다.
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